나폴레옹의 정리 및 나폴레옹 삼각형

삼각형은 참 다양한 종류가 있습니다.

그 중에 여러 종류는 쓸모가 없어서(?) 안 배우는 경우가 많습니다.

(가끔 문제들에서 껴서 나오는 경우는 있어도 말이죠.)

오늘은 그런 삼각형 중 하나인 나폴레옹 삼각형에 대해서 글을 써 볼겁니다.

일단, 나폴레옹 정리의 정의를 이야기해 봅시다.

나폴레옹 정리는 

임의의 삼각형의 각 변에 각 변의 길이를 한 변으로 하는 정삼각형 3개를 그리면

그 세 정삼각형의 무게중심을 이으면 정삼각형이 생긴다...라는 것입니다.

이때, 덧그리는 정삼각형은 안쪽으로 그려도 되고, 바깥쪽으로 그려도 됩니다.

아래 그림 볼까요?

위 그림에서 왼쪽이 임의의 삼각형(노란색)에서 바깥쪽으로 정삼각형을 덧그린 것이고,

오른쪽에 있는 것이 안쪽으로 정삼각형을 덧그린 것입니다.

하늘색 점은 각 정삼각형의 무게중심이고, 그 세 점을 꼭짓점으로 하는

파란색 삼각형을 '나폴레옹 삼각형'이라고 하는 것이죠.

그런데 그림에서 왼쪽과 오른쪽의 이 둘을 구별하기 위해서 

어떻게 정삼각형을 덧붙였냐를 이름에 넣기도 합니다.

왼쪽의 경우는 바깥쪽 나폴레옹 삼각형(outer Napoleon's triangle),

오른쪽의 경우는 안쪽 나폴레옹 삼각형(inner Napoleon's triangle)이라고 합니다.

그런데 왜 하도 많은 사람들 중에 나폴레옹의 이름이 붙었을까요?

그것은 나폴레옹이 이 정리를 처음 고안했기 때문이다....라고는 하는데

실제적 증거 사료가 없어서 진짜인지 거짓말인지는 알 수 없습니다.

이 정리의 증명은 여러가지가 있는데 저는 제가 할 수 있는 방법으로 설명하겠습니다.

잘 따라오셔야 해요...

중 3정도의 기하학 지식만 있으면 매우 쉽게 따라갈 수 있을 겁니다.

(아 물론 교육과정이 바뀌어서 정확히는 모르겠네요...

외심의 성질 알고, 원의 정질 조금만 알면 됩니다.)

먼저, 바깥쪽 나폴레옹 삼각형입니다.

자, 먼저 그림을 그립니다.

여기서 정삼각형의 무게중심은 정삼각형의 외심과 일치하므로

하늘색 점을 기준으로 바깥쪽에 그린 삼각형의 외접원을 2개만 그립니다.

자, 이렇게 되었죠?

그런데 원에 내접하는 사각형의 경우, 마주보는 각의 크기의 합이 180˚입니다.

그래서 아래 그림과 같은 결과가 나오죠.

∠ADC, ∠ADF가 120˚이므로 ∠CDF는 360˚에서 240를 뺀 120˚가 됩니다.

그러면 ∠CDF와 ∠CGF의 합이 180˚이므로 점 C, D, F, G는 한 원위에 있게됩니다.

결국 바깥쪽에 그린 세 삼각형의 외접원이 모두 한 점, D에서 만나는 것이었죠.

그런데 두 원이 만날 때, 두 원의 중심을 이은 선분은 공통현에 수직입니다.

그렇게 되면, ∠HID와 ∠HKD의 합이 180˚라서 점 H, K, D, I는 한 원위에 있고,

마찬가지로 점 K, D, M, J도 한 원 위, D, M, L, I도 한 원 위에 있게 되죠.

(이 부분이 이해가 잘 안 가실 수 있는데,

직각삼각형 HID와 직각삼각형 HKD로 생각해보시면 빠릅니다.)

아래 그림처럼 말이에요...

그러면 역시 원에 내접하는 사각형에서 마주보는 각의 합이 180˚인데
아까 ∠ADC(=∠KDI)가 120˚여서 ∠AHI는 60˚가 되고,

나머지도 마찬가지 이유로 60˚가 되어서

세 각이 모두 60˚가 되는 △JHL은 정삼각형입니다.

이렇게 바깥쪽 나폴레옹 삼각형을 증명하시면 되고요,

안쪽 나폴레옹 삼각형은 아래와 같이 증명하시면 됩니다.

(좀 너저분합니다....-_-;;

최대한 색을 주면서 표시는 해봤는데 이해하기 힘드실 수 있습니다...ㅠ.ㅜ

그래도 방법은 위에서 바깥쪽 나폴레옹 삼각형 증명한 것과 같습니다.)

먼저, 안쪽으로 삼각형을 덧그려서 나폴레옹 삼각형을 그립니다.

원래 삼각형이 파란삼각형, 나폴레옹 삼각형이 하늘색 삼각형입니다.

자, 이제 안쪽에 덧그린 삼각형의 외접원을 그립니다.

아까와 마찬가지로, 정삼각형의 무게중심은 외심과도 같으니 금세 그릴 수 있습니다.

여기서 아래 그림과 같이 공통현 BD와 선분 DE를 긋습니다.

그러면 원주각으로 ∠BAE=∠BDE=60˚ 입니다.

(∠BAE는 정삼각형의 한 각이니까 말이죠.)

그리고 선분 DC를 그으면 역시 원주각으로 ∠BDC=∠BFC=60˚ 입니다.

결국 ∠BDE와 ∠BDC가 같게 되므로 점 D, E, C는 한 직선 위에 있게 됩니다.

(컴퓨터는 한방에 한 직선 위에 있다는 것이 그려지지만...증명은 다 해야죠?)

그리고 선분 AD를 긋게 되면 ∠ADB=∠AEB=60˚이기 때문에

∠ADE=120˚이고, 원에 내접하는 사각형은 마주보는 각의 크기의 합이 180도라서

안쪽으로 덧그린 세번째 정삼각형의 외접원도 점 D를 지나게 됩니다.

아래 그림과 같이 말이죠.

보라색은 공통현입니다.

아시다시피, 두 원의 중심을 이은 직선과 공통현은 수직으로 만나기 때문에

보라색선과 하늘색 선이 수직인 것이 3쌍이 나오죠.

그걸 이용해서, 아래 그림에서와 같이 한 원위에 있는 4개의 점을 

마주보는 각이 90˚와 90˚라서 합하면 180˚인 사각형을 찾아서 

총 3쌍 찾을 수 있습니다. (분홍색 원으로 그렸습니다.)

자, 이러면 ∠GDH=120˚라서 ∠JKL=60˚,

∠IDH=60˚라서 ∠ILH=120˚, ∠KLJ=60˚,

∠GDI=60˚라서 ∠GJI=120˚, ∠LJK=60˚ 입니다.

따라서 △JKL은 정삼각형이 됩니다.

이 나폴레옹 삼각형은 또 많은 성질이 있는데요,

'원래 삼각형의 무게중심=바깥쪽&안쪽 나폴레옹 삼각형 무게중심'입니다.

또한, 바깥쪽 나폴레옹 삼각형과 안쪽 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는

원래 삼각형의 넓이와 같습니다.

그리고 나폴레옹 삼각형을 그리기 위해 덧붙인 삼각형들의 외접원의 교점이

페르마 포인트가 됩니다.

만약 바깥쪽 나폴레옹 삼각형이면 first fermat point, 

안쪽이면 second fermat point라 하는 것 같던데 정확하게는 모르겠네요.

그냥 아래 그림의 분홍색 점이 페르마 포인트라고 보시면 됩니다.

이런 성질들은 제가 나중에 시간나면 증명해서 올려보겠습니다.

한번 인터넷에 증명된 것이 있나 싶어서 찾아봤는데 없네요.

아니면 이해하기 어렵게 그림만 띡 있거나...

(아까 안쪽 나폴레옹 삼각형 증명도 없어서 스스로 한 겁니다.^^

바깥쪽 나폴레옹 삼각형 증명은 있긴 있더라고요. 

한국어로는 자세한 것이 없는 것 같지만...)

그러면 오늘은 이만 마치겠습니다.

증명하느라, 그림그리느라, 설명하느라 몇 시간이 지나갔네요.

최대한 쉽게 설명하려고 했는데 이해가 가셨을지 모르겠네요. ^^;;