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Alexander horned sphere: 구와 위상동형인 물체

미레티아 2012. 9. 27. 20:34

오늘 글의 주제는 구와 위상동형인 Alexander horned sphere에 관한 내용입니다.

Alexander horned sphere...많은 문헌에서 이것에 관해서 다루지 않습니다.

따라서 사전을 찾아봐도 한국말로 뭐라 하는지 안 나오네요.

그래서 저는 그냥 '초승달형 구'라고 하겠습니다.

(제가 이걸 클리퍼드 픽오버가 지은 '뫼비우스의 띠'라는 책에서 보았는데

거기서 '초승달형 구'라고 설명을 했거든요...

그래서 그게 익숙해졌네요.)


초승달형 구는 제목에서도 썼듯이 구와 위상동형입니다.

위상동형이 무엇이냐고요?

그러니까 이 물체를 자르거나 찢는 등의 행위를 하지 않고

다른 물체로 변형 시킬 수 있는 것이라고 하면 될까요,

사전에선 위상수학에서 위상적 성질을 보존하는 동형사상을 말한다는데

간단히 말하면 변형시켜서 만드는 겁니다.


예를 들어볼까요.

원기둥과 구, 원뿔 등은 서로 위상도형이며

도넛, 휴지심 모양 등은 서로 위상도형입니다.

아, 찰흙을 예로 들면 쉬울까요.

원기둥 모양 찰흙을 구 모양으로 만들기 위해서

우리는 찰흙을 두 덩어리로 나눌 필요가 없고

중간에 구멍을 뚫지 않아도 됩니다.

단지 이리저리 눌러서 좀 둥글게 만들면 됩니다.

하지만 원기둥 모양 찰흙을 도넛모양으로 만들기 위해서는

납작하게 누른 후에 가운데를 뚫어줘야 하죠.

그래서 원기둥과 도넛은 위상동형이 아닙니다.

좀 이해가 가셨나 모르겠네요.

참고하시라고 YouTube의 동영상을 첨부할께요.

(물론 아래 동영상은 3차원이 아니고 2차원이지만 위상동형을 잘 나타내줍니다.)


자, 그러면 초승달형 구가 무엇인지 본격적으로 설명해볼까요?

초승달형구는 1924년 J.W.Alexander에 의해 발견이 되었습니다.

약자를 풀면 James Waddell Alexander II 이라네요.

유클리드 공간에서 구와 위상동형이며

(이걸 자꾸 강조하게 되네요...)

구에서 시작해서 만들면 이해하기 빠르고

토러스에서 시작해서 만들면 모양은 예쁜데 이해하기가 좀 어렵습니다.


먼저 구에서 시작해 볼께요.

일단, 구에서 뿔을 2개 만듭니다.

그 뿔은 구를 자르지 않고 구의 표면을 늘려서 만든 뿔입니다.

그리고 그 뿔을 두 방향으로 나누어 다시 뿔을 만듭니다.

그리고 계속해서 만듭니다.

그렇게 되면 구의 표면을 늘린 것이기 때문에

당연히 구와 위상동형이라는 것을 이해하시겠죠?

혹시 이해를 못 하실까봐 동영상을 찾아왔습니다.

(근데 배경음악이나 설명이 없으니 소리 키실 필요는 없어요.)


토러스에서 만드는 방법은 초승달형 구라고 부르는 이유가 드러납니다.

일단 토러스를 좀 자릅니다.(초승달 모양이 되게..)

그리고 잘린 양쪽 부분에 토러스를 붙입니다.

그리고 붙인 토러스를 자르고, 다시 잘린 양쪽에 토러스를 붙이고...

프랙탈처럼 무한 반복을 합니다.

(이번엔 사진만 구해왔습니다.)



사진 출처: http://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_horned_sphere


이걸 생각해 낸 Alexander 씨는 Antoine's necklace라고 부르는

물체에서 착안하여 Antoine's horned sphere도 생각해냈다고 합니다.

Antoine's horned sphere는 Alexander horned sphere와 비슷하지만 좀 다르다네요.

그런데 구글에는 Antoine's horned sphere가 나오지 않네요.

그래서 그냥 Antoine's necklace와 초승달형 구 사진이 있는 사이트를 올려봅니다.

http://sprott.physics.wisc.edu/pickover/mobius-book.html 

이건 제가 읽은 책의 원판인가...(이 책 꼭 읽어보세요!!)

http://salhed.blogspot.kr/2012/09/topology-8-2.html 

어느나라 말일까? 사이트의 말은 못 알아 들을 확률이 높으니까 미리 말해둡니다.

노란색 흰색 고리가 있는 것이 Antonie's necklace에요.

http://www.nada.kth.se/~asa/bilder/hornspheres22.jpg 

전 초록색을 좋아하는데...마침 초록색 그림이 있네요.

http://www.zazzle.com/mating_dance_of_the_alexander_horned_spheres_postcard-239369418831832282 

외국은 카드 디자인이 다양하구나~ 두 개의 구를 이용한 초승달형 구입니다.


그래픽 배워서 직접 컴퓨터로 그려보고 싶은데...

흠, 역시 위상 기하는 아름다운 것 같아요!