입체도형을 꾹꾹 눌러보자-평면그래프

오랜만에 글을 쓰는군요.

그 중에서도 수학을 주제로 잡은 것이 너무너무 오랜만인 것 같아요.

오늘은 '평면그래프'에 대해 알아보도록 하겠습니다.

제가 속칭 '납작도'라고도 부릅니다만 

정확한 이름은 아니고 정확한 정의를 반영한 것이 아니라서

여러분은 반드시 '평면그래프'라고 알아두시길 바랍니다.

먼저, 평면그래프(planar graph)가 뭔지 알아보겠습니다.

평면...平面...평평한 표면을 이야기 하죠.

수학적으로 따지면 2차원입니다.

그래프...graph...도표도 되고 함수 그리는 것처럼 그래프도 되고.

어쨌든, 이 두 단어가 합쳐진 평면그래프는

평면 상에서 두 선분이 교차되지 않도록 그릴 수 있는 그래프를 의미합니다.

즉, 만약 두 선분이 만난다고 하면 선분의 끝부분, 꼭짓점에서만 만나야 하죠.

그리고 만약에 두 선분이 교차되어서 평면그래프가 아닌 것 같아도

위상동형을 만들어 평면그래프가 될 수 있으면 그것은 평면그래프라고 부릅니다.

위상동형은 선분과 선의 위치를 끌어다 바꾸면서 만듭니다.

예를 들어볼까요.

위 그림은 모두 평면그래프입니다.

한 눈에 이해가 가시죠?

그러면 다음 그림은 평면그래프인지 아닌지 구별해보시겠어요?

좌측의 2개는 평면그래프가 맞지만 우측의 2개는 아닙니다.

그 이유는 아래 동영상을 보면 알 수 있습니다.

oCam으로 녹화했는데 잘 되었군요. ^^

어쨌든, 영상에서 보시다시피 좌측 2개는 평면그래프의 모양으로 바뀌었지만

우측 2개는 아무리 열심히 점을 옮겨도 소용이 없습니다.

항상 어딘가에서 겹치게 되죠.

자, 그러면 이제 평면그래프의 성질에 대해 알아봅시다.

혹시 오일러의 다면체 정리를 아세요?

구멍이 뚫리지 않은 다면체(구와 위상동형인 다면체)에서

v-e+f=2, 즉 '(꼭짓점의 수)-(모서리의 수)+(면의 수)=2' 라는 것입니다.

원과 위상동형인 평면도형은 그 값(오일러 지표)이 1인데

평면그래프는 그 값이 얼마일까요?

위에 주어진 예시로 열심히 계산해봅시다.

아, 참. 평면그래프에서 면은 변으로 닫혀진 유한한 넓이의 면 뿐만 아니라

외부의 무한한 넓이의 면도 생각한다고 합니다.

이게 무슨 소리냐면 처음에 사각형 2개가 있는 평면그래프에서

변으로 닫혀진 면을 세어보면 5개 이지만

외부의 무한한 면 하나를 더 포함해서 6개라는 것이죠.

그렇게 계산해보면...오일러 지표가 2가 나옵니다.

그러면 엥??하시는 분들이 계실 거에요.

오일러 지표가 같다는 것은...저 평면그래프를 잘 변형시키면 입체도형이 된다는 것입니다.

뭐, 사실 이렇게 되는 이유는 평면그래프는 그냥 평면이 아니라

'구면 위에서 정의된다'라고 했거든요.

음...이 부분은 제가 동영상을 못 만드니까 여러분의 상상에....-.-;;

구면 위에 평면그래프를 그린 후에 선분들을 이리로 당기고 저리로 당겨보세요

그러면 입체도형이 생기게 됩니다.

아, 좀 더 간단한 역방향으로 생각해볼까요.

정다면체 있죠.

정다면체의 한 면을 크게 만들고

나머지 면을 그 안으로 눌러 납작하게 만들었다고 생각해봅시다.

그러면 그 납작한 모양이 뭐죠?

예, 바로 평면그래프입니다.

혹시 머릿속에서 상상이 잘 안 되시는 분들을 위해서

단계별로 그림을 그려보았습니다.

(정다면체...라 보기 어려울 정도로 선분의 길이가 다르지만요.)

첫번째 줄은 정사면체의 평면그래프를 만들었고

두번째 줄은 정육면체입니다.

맨 좌측은 정다면체, 중간은 한 면을 펼쳤고요, 

마지막은 위에 있는 선분, 면 등을 아래로 누른 것입니다.

같은 방법으로 하게 되면 다른 정다면체의 평면그래프는 이렇게 됩니다.

뭐...제일 작은 게 정팔면체, 오각형 많은 게 정십이면체, 

뭔가 복잡한 삼각형들의 모임이 정이십면체의 평면그래프입니다.

이렇게 평면그래프를 그릴 경우 장점은

입체도형에서 점이 몇개, 선분이 몇개, 이렇게 세기가 참 힘들잖아요.

그런데 이 평면그래프를 그리면 점, 선분, 면의 개수가 변함이 없기 때문에

그것을 셀 때도 참 편하다는 것이죠.

그 외의 장점은...저는 아직 안 배워서 잘 모르겠는데 행렬 등에서 쓰이는 것 같더라고요.

평면그래프는 참 재미있는 것 같아요.

입체도형을 꾹꾹꾹 눌러서 만든다는 것이 제일 재미있는 것 같아요.

또, 평면그래프를 굳이 직선으로 그릴 필요도 없고

막 선분을 이리저리 움직이는 것이 재미있어요.

아마 제가 위상수학의 기본 개념을 예전부터 너무 좋아해서

이런 것을 좋아하는지도 모르겠네요.

어쨌든, 이 글이 평면그래프에 대해 좋은 소개글이 되었으면 하네요. 

즐거운 하루 되세요.^^