루트 n(n≠k^2)가 무리수라는 것에 대한 간단한 증명

루트 2, 루트 3 등이 왜 무리수일까요?

그 증명은 의외로 단순합니다.

(간단히 루트 2를 이용해서 썼습니다.

루트 n이 불편해서...)

유리수란 분수의 형태로 나타낼 수 있는 수를 나타냅니다.

그리고 유리수는 정수와 기약분수로 나눌 수 있습니다.

자, 이제 √2가 정수라고 가정합시다.

그런데 1<√2<2 이므로 √2는 정수가 될 수 없습니다.

그렇다면 √2가 기약분수로 나타낼 수 있는 유리수라고 가정해봅시다.

기약분수를 제곱하게 되면 그 수도 기약분수가 나옵니다.

(기약분수는 분모와 분자가 서로소인 경우를 의미하는데

제곱해보았자 소인수가 서로소라서 당연히 약분이 되지 않기 때문입니다.)

그런데 √2를 제곱하면 2가 나옵니다.

따라서 √2는 기약분수도 아닙니다.

결국 √2가 정수도, 기약분수도 아니기 때문에

√2는 유리수가 아니라고 증명할 수 있습니다.

실수의 집합은 유리수집합과 무리수집합으로 나눠지기 때문에

유리수집합에 못 들어가는 √2는 무리수입니다.

참 간단한 증명이죠?

물론 이 증명을 위해서는 전제 조건이 좀 필요합니다.

예를 들어, '무리수가 존재한다', '무리수란 유리수가 아닌 실수이다'처럼요.

하지만 뭐....뻔한 것이니까 전문 수학자가 아닌 이상

굳이 그 전제조건을 증명할 필요는 없습니다.