[놀이공원에서 발견한 과학] 4. 롤러코스터

(어처피 얼굴 구별이 안 되지만 그래도 모자이크 처리....)

시리즈 연재는 힘든 것 같네요...

그래도 이번이 '놀이공원에서 발견한 과학'의 마지막 편입니다.

오늘은 롤러코스터에서 발견한 과학을 알아볼건데요,

이 이야기는 교과서에도 많이 나오는 예시이죠.

위치에너지, 운동에너지, 역학적 에너지 보존 파트에서요.

먼저, 말 나온 김에 위치&운동에너지, 역학적 에너지 보존이 뭔지 알아봅시다.

위치에너지는 물체가 어떤 위치에 있을 때 잠재적으로 가지고 있는 에너지인데

보통 중력에 의한 위치에너지를 많이 나타냅니다.

즉, 높이 있으면 에너지를 가지는 그런 구조이지요.

중력에 의한 것 말고도 탄성에 의한 위치에너지 같은 것이 있는데

롤러코스터는 그런 것이 없으니까 넘어가겠습니다.

이 위치에너지는 물체의 위치에 따라 정해지는 잠재적인, 숨어있는 에너지라

기호로 Ep라고 씁니다.

E는 Energy의 약자, P는 잠재적인을 영어로 한 Potential의 약자입니다.

그럼 여기서 유추할 수 있는 것은, 위치에너지를 영어로 하면 Potential Energy라는 사실이....

그럼 이 위치에너지는 어떻게 구하느냐면

mgh, 즉 '질량×중력가속도×높이' 입니다.

이 공식 유도를 하는 것은 의외로 간단합니다.

이 물체가 떨어질 때 하는 일은 Fs=ma×s=mgh입니다.

그런데 일-에너지 변환이 가능해서 Ep=mgh가 됩니다.

그럼 이제 운동에너지에 대해 알아볼까요?

운동에너지는, 운동하고 있는 물체가 가지는 에너지입니다.

약자로는 Ek라고 씁니다.

E는 위치에너지와 마찬가지로 Energy약자, K는 Kinetic의 약자입니다.

Kinetic은 운동의, 활동적인, 뭐 그런 뜻이 있습니다.

이 운동에너지는 (1/2)mv^2, 즉 '0.5×질량×속력의 제곱'을 해서 구합니다.

이걸 구하기 위해서는 아까 위치에너지 구할 때 썼던

일-에너지 변환이 가능하다는 사실과 기본적인 물리 공식만 알면 됩니다.

또,  운동에너지는 마찰력이 물체에 한 일과 같은데

그 마찰력에 의해 물체는 등가속도 운동을 한다는 걸 기억해 두면 됩니다.

그럼, 유도 시작해 볼까요?

(유도는 마찰력을 구하고 나중에 그걸 운동에너지로 바꿔치기 하는 식으로 갑니다.)

F=ma(뉴턴의 2법칙)이 있습니다.

이 공식과 같은 말은 a=F/m입니다.

이걸 2as=v^2-v0^2이라는 공식에 넣어줍니다.

(이 공식은 등가속도 운동 공식 3종세트 중의 하나로,

시간이 안 나타나 있을 때 잘 쓰이는 겁니다.

v제곱은 나중속도의 제곱이고 v0제곱은 처음속도의 제곱입니다.)

그러면 2s(F/m)=v^2-v0^2=-v0^2

(왜냐하면 물체가 떨어질 때 나중속도은 바닥에 부딪혀...부딪쳐(?)서

0이 되기 때문에 나중속도는 지워줘도 됩니다.)

자, 그러면 한번 이 식을 이렇게 정리해봅시다.

Fs=-mv0^2/2 이렇게요.

(컴퓨터 타자라 좀 지저분하지만 양해부탁드립니다.)

Fs는 '일'을 나타내는 공식입니다.

그런데 일은 방향이 없는 스칼라 값이므로 -는 지워줘도 됩니다.

다시 써 보면 Fs=mv0^2/2, 이때 v0는 어처피 이 공식에서 다른 속력값이 없으므로

간단히 v라고 고쳐도 되고, 일-에너지 변환에 의해 Fs=마찰력=Ek라고 해도 됩니다.

따라서 Ek=mv^2/2, 보통 '이분의 일 엠 브이 제곱'이라고 불러서

1/2를 앞으로 빼는 경우가 많죠.

그럼 마지막으로, 역학적 에너지 보존은 무엇일까요?

역학적 에너지는 위치에너지와 운동에너지를 합쳐서 부르는 말인데

이 합이 보존이 된다는 이야기죠.

물론, 열이나 소음이나 기타 등등으로 에너지가 샐 수는 있겠지만

기본적으로 에너지 보존의 법칙이 있으므로 상관은 없습니다.

그리고 보통 그런 에너지 손실은 생각하지 않는다고 문제에서 주어지므로...

롤러코스터는 계속해서 높이와 속력 등등이 변하기 때문에

역학적 에너지 보존 법칙을 이용한 문제들이 많이 나와요.

그림을 보면서 설명해 볼까요.

출처: http://rollarcoasteproject.weebly.com/physics.html  

그림에서 A부분은 높이가 가장 높으므로 위치 에너지가 가장 크고

B부분은 높이가 낮아서 역학적 에너지 보존에 의해 운동에너지가 가장 크게 됩니다.

만약에 A부분의 높이가 h이고, 속력이 0이라고 했을 때,

B부분은 높이가 0이고 속력을 v라고 합면

A부분의 역학적 에너지는 B부분과 같아야 하므로

mgh=(1/2)mv^2이 됩니다.

이걸 v에 대해 정리해보면 v=√(2gh)가 됩니다.

그러면 좀 더 고난이도로 가 볼까요?

출처: http://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/roller-coaster-car-shown-fig-6-41-h1-45m-h2-14m-h3-23m-dragged-point-1-released-rest-assum-q2621259

친절하게 높이가 나타나 있는 그림을 구했네요.

2부분을 기준으로 높이가 그려져 있어서 h2는 4부분의 높이입니다.

질량은 m, 1부분의 속력을 v1, 2부분은 v2, 3은 v3, 4는 v4라고 합시다.

그렇게 되면 다음과 같은 긴 식이 나오죠.

mgh1+0.5mv1^2=0.5mv2^2=mgh3+0.5mv3^2=mgh2+0.5mv4^2

의외로 간단하니까 수치가 주어져도 문제를 풀 수 있겠죠?

더 고난이도 롤러코스터 문제는 한바퀴 빙 도는 겁니다.

그런데 그건 저도 잘 모르므로 설명하지는 않겠습니다.

이제 시리즈 연재, [놀이공원에서 발견한 과학]이 끝났네요.

생각해보면 매우 허접할 수 있고

별로 많은 과학이 있지도 않은 연재였는데 말이죠.

좀 아쉽기도 하고, 다음번에는 좀더 좋은 연재를 준비해봐야겠습니다.

<연재글 바로가기>

http://miretia.tistory.com/290 [놀이공원에서 발견한 과학] 1. 유령의 집(귀신의 집)

http://miretia.tistory.com/293 [놀이공원에서 발견한 과학] 2. 바이킹

http://miretia.tistory.com/297 [놀이공원에서 발견한 과학] 3-(1). 회전컵

http://miretia.tistory.com/301 [놀이공원에서 발견한 과학] 3-(2). 회전컵

http://miretia.tistory.com/305 [놀이공원에서 발견한 과학] 4. 롤러코스터