원에서 증명하는 산술, 기하, 조화 평균

아....덥네요.

더운데 컴퓨터 앞에 앉으니 더 덥네요...

그래도 쓰고 싶은 건 써야죠.

오늘은 동그라미를 이용한 산술, 기하, 조화 평균의 부등식 관계를 증명하려고 해요.

산술, 기하, 조화 평균의 부등식 관계 두 수에 관해서 아래와 같습니다.

(단, 조건은 a와 b모두 양수입니다.)

맨 왼쪽이 산술 평균, 중간이 기하평균, 오른쪽이 조화평균입니다.

그리고 등호성립조건은 a와 b가 같을 때고요.

그런데 이게 왜 이렇게 되죠?

그건 이제 그림으로 설명하겠습니다.

현재 위 그림에서 AB는 원의 지름이고요, ∠ACB=∠CDB=∠CED=90˚ 입니다.

그러면 AD를 a, BD를 b라고 하고 증명하는 과정을 써보겠습니다.

(참고로 r은 반지름입니다.)

『일단, 가장 기본적인 것은

그리고 △ABC에서 보았을 때 사영정리에 의해서

△CDO에서 사영정리를 쓰면

그래서 산술, 기하, 조화 평균이 각각 OC, CD, CE에서 나타내어집니다.

그런데 CD와 CE가 최대로 클수 있는 것은 점 D와 E가 원의 중심인 점 O와 일치할 때,

즉, 다음과 같은 그림이 그려질 때 입니다.

(∠COB=90˚입니다.)

그래서 산술, 기하, 조화 평균의 부등식은 성립합니다.』

늘 성립하는 거라 이름이 절대부등식이라죠?

이 부등식은 아주 유용하게 쓰이는데

조화평균은 잘 안 나오고 산술기하평균만 잘 나옵니다.

어쨌든, 그림과 식이 필요한 글이다보니까

글의 구조가 많이 이상하게 되어서 읽기 어려웠을 텐데

읽어주셔서 감사합니다.