심슨의 정리

'심슨'하시면 무엇이 떠오르시죠?

아마 아래 그림의 캐릭터가 떠오르실 거에요.

 

사진 출처: http://ask.nate.com/qna/view.html?n=5902305

노란색 캐릭터인 호머 심슨과 그 가족들(나머지는 이름이 뭐죠?)

그런데 심슨 말고, '심슨의 정리'하면 무엇이 떠오르시죠?

뭐, 심슨이 집을 정리한 적이 있나?

이제부턴 그런 생각을 하지 마시고,

"심슨의 정리"하면 바로 수학적 정리를 떠올리세요.

 

이 수학자는 별로 유명하지 않지만

R.Simson이라는 수학자가 만든 정리인 심슨의 정리는 아주 유명합니다.

뭐, 비록 철자는 심슨 가족과 다르지만 인상깊잖아요?

하여간, 심슨의 정리가 무엇이냐, 하면

'삼각형의 외접선 위에 있는 임의의 한 점으로부터

삼각형의 세 변 또는 그 연장선 위로의 수선의 발은 한 직선위에 있다.'

이것이 심슨의 정리입니다.

뭐, 이렇게 쓰면 물론 이해 못하시겠죠?

그러니 그림으로 설명해 보죠.

 

(음...너무 크게 그렸나?)

하여간 이렇게 삼각형이 있고 외접원 위에 임의의 점 D를 잡아보겠습니다.

(아, 삼각형 꼭짓점도 이름표 달아드릴께요.)

 

아, 이게 훨씬 알아보기 편하겠네요.

자, 그러면 점 D에서 직선 AB, BC, CA에 수선을 그어보겠습니다.

 

현재 점 D에서의 각 변 또는 그 연장선에 대한 수선의 발로

점 E, F, G가 표시되어있습니다.

심슨의 정리는 이 점 E, F, G가 한 직선위에 있다는 것을 보이면 되는데

이것은 다음과 같이 증명이 됩니다.

『∠DFB = ∠DEB = ∠DGC = ∠R(90˚)

   ∴ D, F, G, C와 D, F, B, E는 각각 한 원 위에 있다.

   그리고 가정에 의하여 A, B, C, D는 한 원에 있다.

   ∴ ∠DFE = ∠DBE = ∠DCG

   또, ∠DFG + ∠DCG = 180˚

   ∴ ∠DFG + ∠DFE = 180˚

   ∴ E, F, G는 한 직선 위에 있다.』

그리고 이 심슨의 정리에 의해 만들어지는

점 E, F, G를 잇는 선은 심슨선이라고 불립니다.

 

음...그냥 컴퓨터 프로그램을 이용하면 이렇게 간단히 끝나는 것을,

굳이 9-나에 나오는 원주각과 원에 내접사각형의 원리를 이용해서

증명을 하다니...

뭔가 수학자들은 멋지기도 하고, 괴짜이기도 한 것 같아요.

 

그럼 오늘은 이만 마쳐야겠네요.

혹시 증명과정이 이해가 안 가신다면

제게 댓글로 물어보셔도 괜찮습니다.

(문제는 답변을 어떻게 하느냐 인것 같지만....)