2025년이다!
푸른 뱀의 해가 밝았고...
이과생들에게는 아주 흥미진진한 숫자의 해이다.
바로바로바로....!
$2025=1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}+9^{3} \\ =(1+2+3+4+5+6+7+8+9)^{2}$
내가 이걸 위해 티스토리 스킨에 LaTeX 깔았다...
혹시 LaTeX 에러 나면 댓글로 알려줘여...
그런데 신기하게도, 수학적으로 아래와 같은 공식이 성립한다고 한다.
$ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=\left(1+2+3+\cdots +n\right)^{2} $
더 간략히 정리하면 아래와 같다.
$ \sum _{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum _{k=1}^{n}k\right)^{2} $
이 수식은 Nicomachus' Theorem이라고 불리고,
영문위키피디아에는 Squared triangular number라고도 불린다.
그런데 위키피디아에 표기된 용어는 Square triangular number와 헷갈릴 가능성이 높아서
본 글에서는 Nicomachus' Theorem, 즉 '니코마쿠스의 정리'라고 부르겠다.
공식이 있으면 증명해 봐야겠지...?
증명은 수학적 귀납법을 통해서 이뤄진다.
0) 우선 알아야 하는 점
$ 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} $
이는 좌변이 '등차수열의 합'이기 때문이다.
얘를 증명하는 방법도 쓰기에는 내가 LaTeX 사용 실력이 부족해서 입력이 힘들당 흑흑
다음에는 손으로 수식 쓰면 알아서 예쁘게 바꿔주는 기능이 있나 찾아봐야겠다.
1) n=1일 때
$ 1^{3} = 1^{2} $
...이므로 만족한다.
2) n=k일 때 만족한다고 가정해보자.
$ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + k^{3} $
$ = \left(1 + 2 + 3 + \cdots + k\right)^{2} $
$ = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^{2} $
이렇게 정리되는 이유는 0)번 때문이다.
그렇다면 n=k+1일 때,
$ 1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + \cdots + k^{3} + (k+1)^{3} $
$ = \left( \frac{k(k+1)}{2} \right)^{2} + (k+1)^{3} $
위와 같이 쓸 수 있고 이를 $ (k+1)^{2} $으로 묶어서 정리하면 아래와 같다.
$ = (k+1)^{2} \left( (\frac{k}{2})^{2}+k+1 \right) $
$ = (k+1)^{2} \left( \frac{k^{2} + 4k + 4}{4} \right) $
$ = (k+1)^{2} \left( \frac{(k+2)^{2}}{2^{2}} \right) $
$ = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^{2} $
즉, n=k일 때 성립한다면 n=k+1일 때도 성립한다.
따라서 1), 2)에 의해 모든 자연수 n에 대해 위 공식이 성립한다.
2025년 푸른 뱀의 해,
다들 새해 복 많이 받길 바란다.