오목정다면체(케플러-푸앵소 다면체)

세상에는 참 많은 입체도형이 있습니다.

그 중에서 우리가 그룹지어서 이름을 붙이고 특별하게 생각하는 것들도 있습니다.

제일 대표적인 것이 정다면체 일 텐데요, (띄어쓰기 맞나?)

우리가 학교에서 배우는 것은 볼록한 정다면체입니다.

하지만 오목정다면체도 있다는 것 아시나요?

먼저, 정다면체의 정의에 대해 알아볼까요?

아마 이 정의를 많이 모르실 텐데,

정다면체란 다음의 두 가지 조건을 만족해야 합니다.

1. 모든 면이 합동인 정다각형으로 이루어져야 한다.

2. 각 꼭짓점에서 만나는 면의 개수가 같아야 한다.

그래서 볼록 정다면체는 5개밖에 없죠.

이것 증명은 아마 많은 사람들이 해 보았을 거에요.

한 꼭짓점에서 정다면체들이 만날 때 적어도 3개 이상이 모여야 하고

평면이 되지 않기 위해 모였을 때 360도가 안 되어야 합니다.

그렇게 되면 정삼각형, 정사각형, 정오각형을 쓸 수가 있고

정삼각형의 경우 3개, 4개, 5개가 모이는 경우가 있고

정사각형과 정오각형은 3개씩 모이는 경우밖에 없습니다.

어찌되었든, 이렇게 증명을 할 때는 오목한 경우를 생각할 수 없습니다.

오목하기 위해서는 한 꼭짓점에 모일 때 360도가 넘어가거든요.

그래서 이 오목정다면체 모양들이 예전부터 알려져 있었다고 하더라도

정다면체의 조건을 만족한다는 것은 케플러가 처음 알아냈습니다.

그런데 그가 모든 오목정다면체를 찾은 것이 아니고 한 면이 별모양이 되는 2개를 찾았고

루이 푸앵소가 한 면이 정오각형과 정삼각형이 되는 나머지 2개를 찾았습니다.

(이 말이 잘 이해가 안 가면 잠시 기다려주세요. 아래 설명합니다.)

그래서 그의 이름을 따서 '케플러-푸앵소 다면체'라고 부르죠.

영어로는 Kepler-Poinsot polyhedron이고 복수형으로는 -hedra라고 합니다.

(푸앵소는 프랑스인임을 유의하고 포인솟이라 읽으면 안 됩니다~)

아, 물론 polyhedron의 복수형은 polyhedra와 polyhedrons 둘다 됩니다.

자, 그럼 어떻게 생겼는지 볼까요?

출처: https://en.wikipedia.org/wiki/Kepler%E2%80%93Poinsot_polyhedron

왼쪽 2개가 케플러가 발견한 거고 오른쪽 2개가 푸앵소가 발견한 겁니다.

이름은 '소형 별모양 십이면체', '대형 별모양 십이면체', 

'대형 이십면체', '대형 십이면체'입니다.

(영어 있는 그대로 번역하면 됩니다. 대형, 소형 말고 큰, 작은 쓰기도 합니다.)

그런데 이렇게 그림으로 보니...좀 이해가 잘 안 가네요.

다른 그림으로 볼까요?

출처: http://www.polyomino.org.uk/mathematics/card-polyhedra/

위와 아래 사진 모두 순서를 맞췄습니다.

그런데...딱 봐도 정다각형이 아니잖아요~하는 분들이 많을 겁니다.

일단 기본적으로 유의하셔야 되는 점이, 위의 그림의 노란부분이 한 면이고

아래 그림에서 보면 같은 색깔이 같은 면입니다.

(뭐, 색이 부족했는지 몰라도 맨 왼쪽은 노란색이으로 두 면을 표시한 것 같지만요.)

즉, 면과 면이 겹쳐져서 들어간다고 생각하면 됩니다.

그래서 그림을 순서대로 보시면, 맨 왼쪽은 오각별(파란색을 보시면 이해가 잘 갑니다.)

왼쪽에서 두 번째도 오각별(회색을 보시면 됩니다),

오른쪽에서 두 번째는 정삼각형(초록색을 보시면 됩니다),

맨 오른쪽은 정오각형(회색이나 파란색을 보시면 됩니다)입니다.

이해가 가시나요?

꼭 면과 면이 모서리에서 만날 필요는 없잖아요.

이해가 안 가시면...아래 링크의 사진들을 보면 이해가 가실 겁니다.

http://shop.mathlove.kr/shop/goods/goods_view.php?goodsno=1303

특정 제품 홍보하는 건 아닌데 다른 사진들 중 좋은 것이 없네요.

그런데 오각별은 정다각형이 아니잖아요~하는 반론이 있을 수 있습니다.

자, 그럼 정다각형의 정의는 뭐죠?

아래 두 가지를 만족하면 정다각형이라 부를 수 있습니다.

1. 모든 각의 크기가 같다.

2. 모든 변의 길이가 같다.

솔직히 말하면 모든 변의 길이가 단순한,

즉 '서로 교차하지 않는'이라는 조건을 넣기도 합니다.

여기서는 정다각형의 정의를 마지막 조건을 빼고 확장했다고 보시면 되는데,

한 변이 우리가 보통 별 그릴 때 쭉 긋는 선분입니다.

아니, 그러니까...음...그림으로 설명하자면

삐뚤빼뚤한 것은 제 손탓...??

하여간 같은 색이 한 변입니다.

그래서 각 변이 이루는 각도가 모두 같고 각 변의 길이도 모두 같죠.

그래서 오각별을 정다각형의 범주로 확장해 집어넣을 수 있는 겁니다.

어쩌면 오목정다면체는 정다면체라 보기는 조금 억지일 수 있어요.

한 꼭짓점에서 모이는 면의 수는 같더라도

정다면체 정의를 확장하고, 면을 겹쳐서 끼워넣고...

하지만 항상 열린 사고를 갖는 것이 중요한 것 같아요.

나중에 모형이나 만들어 봐야겠어요. ^^